Cum se calculează volumul unui capac sferic utilizând calculul

Abordarea generală de calcul în calcularea volumelor de obiecte cu suprafețe curbe se bazează pe principala teorie a integrării. În esență, obiectul tridimensional este tăiat în felii mai mici și mai mici și se apropie de volumul fiecărei porțiuni utilizând o formă mai simplă. Pentru a găsi volumul unui capac sferic, cea mai simplă formulă este să vă imaginați un teanc de cilindri largi, scurți unul peste celălalt. Volumul este calculat ca înălțimea fiecăruia dintre aceste cilindri la zero, generând aproximări mai precise.

Scrierea integrala

Determinați diametrul sau raza vârfului sferic în cea mai mare parte a acestuia.

Determinați înălțimea capacului sferic.

Efectuați rădăcina pătrată a numerelor din pașii 1 și 2 și adăugați-le. Împărțiți acest număr de două ori cu numărul din pasul 2. Aceasta vă oferă R, raza sferei din care sa tăiat capacul sferic.

Scrieți "V =", urmată de simbolul de integrare.

Reduceți numărul pe care l-ați calculat în Pasul 2 al lui R și scrieți acest număr în partea de jos a simbolului de integrare.

Scrieți valoarea lui R în partea superioară a simbolului de integrare.

Scrieți pi, urmată de o paranteză, după simbolul de integrare.

Efectuați rădăcina pătrată a valorii lui R și scrieți-o după paranteze, urmată de semnul minus.

Scrieți "x ^ 2", urmată de paranteze de închidere. Doar scrie intregul cu "dx".

Evaluarea integrala

Multiplicați pi în paranteze, rezultând pi * x ^ 2 scăzut de la o constantă.

Evaluați primul termen al integratului prin înmulțirea constantei cu înălțimea capacului sferic (de fapt, R - a, cele două extreme ale integralului) și deplasându - l în afara integratorului. Ecuația trebuie să fie acum în forma "V = C (R - a) - [integral integrat de la a la R] pi * x ^ 2 dx", unde C este rădăcina pătrată a lui R times pi și R este înălțimea a capacului sferic.

Integratul rămas este evaluat la 1/3_pi_ (R ^ 3), 1/3_pi_ (a ^ 3). Astfel, formula generală pentru volumul unui capac sferic este V = C (R-a), 1 / 3_pi_ (R 3 3) + 1/3_pi_ (a ^ 3), unde C sunt deja descrise în etapa 2 și R este așa cum este descris în etapa 3 a secțiunii anterioare.

Înlocuind R minus înălțimea capacului sferic ("h") pentru o, evaluând cuburile și simplificând rezultatele în V = 1 / 3_pi_h ^ 2 * (3R - h), formula standard algebrică pentru volumul unui capul sferic.